SEMICONDUCTOR PHYSICS · LECTURE 02 · DENSITY OF STATES & FERMI LEVEL

状态密度函数
与费米能级

状态密度给出「单位能量、单位体积内可容纳电子的座位数密度」；费米–狄拉克函数给出「能量为 E 的座位被电子占据的概率」；二者相乘即实际载流子的能量分布——由量子态到载流子浓度，全讲仅此一条主线。

g(E) 状态密度→ f_F(E) 费米占据→ n(E)=g·f 载流子分布→ n₀=N_c·e^{−(E_c−E_F)/kT}

FIG. EXAM · 能带—状态密度—费米分布三联考图hover 读数 · 近线浮窗详解 · 滑块仅考点参数

$T$	温度（热能量标尺 $kT$）
$E_F-E_i$	费米能级偏移（相对禁带中线 $E_i$）
$E_g$	禁带宽度（$E_c=E_g$，$E_v=0$ 固定）
$m_n^*$	电子有效质量（以 $m_0$ 计）
$m_p^*$	空穴有效质量（以 $m_0$ 计）

滑块—曲线影响矩阵：点击「方向」按钮切换方向（红＝正向升高／绿＝负向降低，股票配色）；每格给出物理解释（底层原理）与公式解释（对应公式增减）。首两列吸附，可横向滚动。

滑块物理量	$g_c$ 导带状态密度	$g_v$ 价带状态密度	$f_F$ 费米占据坡	$e^{-(E-E_F)/kT}$ 玻尔兹曼近似	$n(E)=g_c f$ 电子分布	$p(E)=g_v(1-f)$ 空穴分布
温度 $T$	无影响：态密度只由带边与有效质量决定，与热无关。$g_c=\frac{4\pi(2m_n^*)^{3/2}}{h^3}\sqrt{E-E_c}$ 不含 $T$，形状不变。	无影响：同理，价带态密度与热无关。$g_v$ 公式不含 $T$。	热扰动加剧，占据坡展宽变缓（过渡宽≈4kT），惟 $f(E_F)=0.5$ 钉死不动。$kT\uparrow\Rightarrow\left\|\frac{E-E_F}{kT}\right\|\downarrow\Rightarrow f$ 趋近 1/2，坡变缓。坡变陡变窄，T→0 时趋于矩形台阶。$kT\downarrow\Rightarrow$ 比值 $\uparrow\Rightarrow f$ 更快趋于 0/1。	热尾抬高，指数衰减变慢，虚线展宽。$kT\uparrow\Rightarrow\frac{E-E_F}{kT}\downarrow\Rightarrow e^{-(E-E_F)/kT}$ 衰减变慢、曲线抬高。衰减加快，虚线贴向 $E_F$ 水平线。$kT\downarrow\Rightarrow$ 指数绝对值 $\uparrow\Rightarrow$ 衰减更快。	分布展宽变平，峰略离带边，总面积（电子数）因热激发而增。峰位 $\approx E_c+\tfrac{kT}{2}$ 右移；$f$ 展宽 $\Rightarrow n=g_c f$ 展宽；$N_c\propto T^{3/2}\uparrow$。分布收窄、峰贴回 $E_c$，面积收缩。$kT\downarrow\Rightarrow$ 峰位左移、乘积收窄。	与 n(E) 镜像：展宽变平，峰略离 $E_v$，空穴数增。峰位 $\approx E_v-\tfrac{kT}{2}$ 左移；$1-f$ 展宽 $\Rightarrow p$ 展宽。收窄、峰贴回 $E_v$。$kT\downarrow\Rightarrow p=g_v(1-f)$ 收窄。
费米能级 $E_F$	无影响：态密度只认带边与质量，不认「水位」。$g_c$ 公式不含 $E_F$。	无影响：同上。$g_v$ 公式不含 $E_F$。	水位升高，同能量处占据概率整体增大，台阶坡上移。$E_F\uparrow\Rightarrow E-E_F\downarrow\Rightarrow f\uparrow$（整坡平移）。水位降低，坡下移，同 E 处占据减小。$E_F\downarrow\Rightarrow f\downarrow$。	近似曲线随水位整体抬高，形状不变。$e^{-(E-E_F)/kT}=e^{(E_F-E)/kT}$，$E_F\uparrow\Rightarrow$ 值 $\uparrow$。整体降低。$E_F\downarrow\Rightarrow$ 值 $\downarrow$。	水位趋近导带，更多电子入座，峰增高、面积指数增大。$f\uparrow\Rightarrow n=g_c f\uparrow$；$n_0=N_c e^{-(E_c-E_F)/kT}\uparrow$。峰降低、面积收缩。$f\downarrow\Rightarrow n\downarrow$。	水位远离价带，空穴减少，峰压低、面积缩小。$1-f\downarrow\Rightarrow p\downarrow$；$p_0=N_v e^{-(E_F-E_v)/kT}\downarrow$。空穴增多，峰增高。$1-f\uparrow\Rightarrow p\uparrow$。
禁带宽度 $E_g$	导带底 $E_c$ 随隙上移，g_c 起零点上移，平移不变形。$\sqrt{E-E_c}$ 中 $E_c\uparrow\Rightarrow$ 同形上移。 $E_c$ 下移，g_c 整体下移。$E_c\downarrow\Rightarrow$ 同形下移。	无影响：$E_v=0$ 固定、$m_p^*$ 不变。$\sqrt{E_v-E}$ 不变。	本标本 $E_F$ 锚于中线，隙变宽则 $E_F$ 随之升高，坡上移。$E_F=\tfrac{E_g}{2}+\Delta\uparrow\Rightarrow f$ 上移。坡下移。$E_g\downarrow\Rightarrow E_F\downarrow\Rightarrow f$ 下移。	随 $E_F$ 升高而整体抬高。$e^{(E_F-E)/kT}$，$E_F\uparrow\Rightarrow$ 值 $\uparrow$。整体降低。$E_F\downarrow\Rightarrow$ 值 $\downarrow$。	隙宽则 $E_F$ 离导带愈远，愈难激发，峰显著压低并上移。$(E_c-E_F)=\tfrac{E_g}{2}-\Delta\uparrow\Rightarrow f(E_c)\approx e^{-(E_c-E_F)/kT}\downarrow\Rightarrow n_0\downarrow$。峰增高、下移，电子增多。$E_g\downarrow\Rightarrow(E_c-E_F)\downarrow\Rightarrow$ 指数项 $\uparrow$。	水位亦远离价带，空穴减少，峰压低（位置不变，因 $E_v$ 固定）。$(E_F-E_v)=\tfrac{E_g}{2}+\Delta\uparrow\Rightarrow p_0=N_v e^{-(E_F-E_v)/kT}\downarrow$。空穴增多，峰增高。指数减小 $\Rightarrow p_0\uparrow$。
电子有效质量 $m_n^*$	质量愈大，E(k) 愈缓，单位能量内堆积的态愈多，抛物线愈「开」。前因子 $\propto(m_n^*)^{3/2}\uparrow\Rightarrow g_c$ 同 E 处增大。态变稀，抛物线收拢。前因子 $\downarrow\Rightarrow g_c\downarrow$。	无影响：价带态密度只取决于 $m_p^$。$g_v$ 不含 $m_n^$。	无影响：占据概率只认 $(E-E_F)/kT$，与质量无关。$f$ 不含 $m^*$。	无影响：指数近似与质量无关。$e^{-(E-E_F)/kT}$ 不含 $m^*$。	座位愈多则入座愈多，曲线整体放大，面积 $n_0$ 增。$n=g_c f$ 随 $g_c\uparrow$；$N_c=2\left(\frac{2\pi m_n^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\uparrow$。整体缩小。$g_c\downarrow\Rightarrow n\downarrow$。	无影响：价带空穴与电子质量无涉。$p=g_v(1-f)$ 不含 $m_n^*$。
空穴有效质量 $m_p^*$	无影响：导带态密度只取决于 $m_n^$。$g_c$ 不含 $m_p^$。	空穴质量愈大，价带态愈多，抛物线愈「开」。前因子 $\propto(m_p^*)^{3/2}\uparrow\Rightarrow g_v\uparrow$。收拢、态变稀。前因子 $\downarrow\Rightarrow g_v\downarrow$。	无影响：f 与质量无关。$f$ 不含 $m^*$。	无影响。$e^{-(E-E_F)/kT}$ 不含 $m^*$。	无影响：导带电子分布与空穴质量无涉。$n=g_c f$ 不含 $m_p^*$。	座位愈多，空穴分布整体放大，面积 $p_0$ 增。$p=g_v(1-f)\uparrow$；$N_v\propto(m_p^*)^{3/2}\uparrow$。整体缩小。$g_v\downarrow\Rightarrow p\downarrow$。

材料预设（$E_g$）：

叠加玻尔兹曼近似 $\exp[-(E-E_F)/kT]$（虚线）叠加乘积分布 $n(E)=g_c f$ 与 $p(E)=g_v(1-f)$

kT（热能量）

—

$(E_c-E_F)/kT$

—

$(E_F-E_v)/kT$

—

$f_F(E_c)$ 精确值

—

简并判据（≥3 非简并）

—

公式拆解表

Variable Anatomy · R1–R6

① 状态密度三式（有效量子态 · 导带 · 价带）

$$g(E)=\frac{4\pi(2m)^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E}$$

$$g_{c}(E)=\frac{4\pi(2m_{n}^{*})^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E-E_{c}}\qquad\qquad g_{v}(E)=\frac{4\pi(2m_{p}^{*})^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E_{v}-E}$$

符号	含义（可背诵表述）	角标 / 上标全称与意义	单位	考点备注
$g,\,g_{c},\,g_{v}$	状态密度：单位体积、单位能量的量子态数，即能容纳电子的「座位」密度	合并行：$g$ 为自由粒子有效态密度（自 $E=0$ 起）；$c\to$ conduction 导带，自 $E_c$ 起、变量 $\sqrt{E-E_c}$；$v\to$ valence 价带，自 $E_v$ 起、变量 $\sqrt{E_v-E}$	cm⁻³·eV⁻¹（SI：m⁻³·J⁻¹）	侧抛物线、带边起零；仅带边附近成立
$m_{n}^{},\,m_{p}^{}$	状态密度有效质量，决定抛物线「陡缓」：质量愈大，态愈多	合并行：$n\to$ negative 电子；$p\to$ positive 空穴；$*\to$ effective 有效	kg，常以 m₀ 计	Si：m_n≈1.08m₀，m_p≈0.56m₀
$E_{c},\,E_{v}$	带边能量：导带底 / 价带顶，状态密度的「零点」与起画点	合并行：$c\to$ conduction bottom；$v\to$ valence top	eV	E_g=E_c−E_v：Si 1.12 / Ge 0.66 / GaAs 1.42
$E$	所论量子态之能量	—	eV	自变量；根号内为「到带边距离」
$h$	普朗克常量	—	4.136×10⁻¹⁵ eV·s ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s	分母 h³，双单位必背
$\tfrac{4\pi(2m^{*})^{3/2}}{h^{3}}$	公共前因子，决定抛物线开口；推导含自旋 ×2	—	cm⁻³·eV⁻³ᐟ²	k 空间每 (2π/L)³ 一体积一个态 ×2（自旋）

注释公式 · 逐量认读 ANNOTATED

$$\overset{\text{导带状态密度}}{g_{c}}(E)=\frac{4\pi\left(2\,\overset{\text{电子有效质量}}{m_{n}^{*}}\right)^{3/2}}{\overset{\text{普朗克常量}}{h}{}^{3}}\;\sqrt{\,\overset{\text{态能量}}{E}-\overset{\text{导带底}}{E_{c}}\,}$$

$$\overset{\text{价带状态密度}}{g_{v}}(E)=\frac{4\pi\left(2\,\overset{\text{空穴有效质量}}{m_{p}^{*}}\right)^{3/2}}{h^{3}}\;\sqrt{\,\overset{\text{价带顶}}{E_{v}}-E\,}$$

$$g_{c}(E)=\frac{4\pi(2m_{n}^{*})^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E-E_{c}}\qquad g_{v}(E)=\frac{4\pi(2m_{p}^{*})^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E_{v}-E}$$

诵读句「g 下标 c 等于四π乘二 m n 星的二分之三次方除以 h 三次方、乘根号 E 减 E c；g 下标 v 同形，换 m p 星、根号 E v 减 E。」

形态口诀「侧抛物线、带边起零；有效质量大，状态多。」—— g_c 自 $E_c$ 向右升，g_v 自 $E_v$ 向左沉，皆按 √ 律。

② 费米–狄拉克分布函数（能量为 E 的量子态被电子占据的可能性）

$$f_{F}(E)=\frac{N(E)}{g(E)}=\frac{1}{1+\exp\!\left(\dfrac{E-E_{F}}{kT}\right)}$$

符号	含义（可背诵表述）	角标 / 上标全称与意义	单位	考点备注
$f_{F}(E)$	费米占据概率：能量 E 的量子态被电子占据的可能性	$F\to$ Fermi 费米	无量纲（0–1）	台阶坡，宽约 4kT；f(E_F)=0.5
$N(E)$	单位体积、单位能量的粒子数（被占态密度）	—	cm⁻³·eV⁻¹	N(E)=g(E)·f(E)
$g(E)$	单位体积、单位能量的量子状态数（状态密度）	—	cm⁻³·eV⁻¹	「座位」密度
$E_{F}$	费米能级：f=1/2 之能量；材料固有参数，表征系统电子能量大小	$F\to$ Fermi	eV	E_F 越大，电子能量越大、占据愈高
$E_{i}$	本征费米能级：本征半导体之 E_F，约居禁带中线	$i\to$ intrinsic 本征	eV	特殊值，不与 E_F 合并
$k$	玻尔兹曼常量	—	8.62×10⁻⁵ eV/K ≈ 1.38×10⁻²³ J/K	双单位必背
$T$	热力学温度（绝对温标）	—	K	室温 300 K
$kT$	热能量，分布的唯一「宽度」标尺	—	eV（300K≈0.026）	26 meV 锚点

注释公式 · 逐量认读 ANNOTATED

$$\overset{\text{占据概率}}{f_{F}}(E)=\frac{1}{1+\exp\!\left(\dfrac{\overset{\text{态能量}}{E}-\overset{\text{费米能级}}{E_{F}}}{\overset{\text{玻尔兹曼常量}}{k}\,\overset{\text{热力学温度}}{T}}\right)}$$

$$f_{F}(E)=\frac{1}{1+\exp\!\left(\dfrac{E-E_{F}}{kT}\right)}$$

诵读句「f 下标 F 等于一除以一加 e 的（E 减 E F 除以 k T）次方；E 等 E F 时 f 等二分之一，E 减 E F 等三 k T 时 f 约零点零五。」

形态口诀「台阶坡、宽 4kT；费米能级，恰好一半。」T 升坡缓、E_F 升坡移。

③ 玻尔兹曼近似（f 不好积，E−E_F 较大时化指数）

$$f_{F}(E)=\frac{1}{1+\exp\!\left(\dfrac{E-E_{F}}{kT}\right)}\approx\exp\!\left[-\frac{E-E_{F}}{kT}\right]\qquad(E-E_{F}\gg kT)$$

符号	含义	角标全称	单位	考点备注
$E-E_{F}$	所论态高出费米能级之能量差	$F\to$ Fermi	eV	≥3kT 判据，误差≈5%
$\exp[-(E-E_{F})/kT]$	近似式：分母中 1 可略	—	无量纲	e⁻³≈0.0498，精确 1/(1+e³)≈0.0474

注释公式 · 逐量认读 ANNOTATED

$$f_{F}(E)\approx\exp\!\left[-\frac{E-E_{F}}{kT}\right]\quad\Longleftarrow\quad \overset{\text{态能量}}{E}-\overset{\text{费米能级}}{E_{F}}\;\geq\;3\,\overset{\text{热能量}}{kT}$$

$$f_{F}(E)\approx\exp\!\left[-\frac{E-E_{F}}{kT}\right]\qquad(E-E_{F}\geq 3kT)$$

诵读句「E 减 E F 远大于 k T 时，分母之一可略，f 近似 e 的负（E 减 E F 除以 k T）次方；三 k T 处，误差仅约百分之五。」

④ 讲义提问：n 个能级、g_i 个量子态、N_i 个粒子的排列总数

$$W=\prod_{i}\binom{g_{i}}{N_{i}}=\prod_{i}\frac{g_{i}!}{N_{i}!\,(g_{i}-N_{i})!}$$

符号	含义	角标全称	单位	考点备注
$g_{i}$	第 i 个能级的量子态数（座位数）	$i\to$ 第 i 能级序号	无量纲（个数）	一个量子态最多容纳一个电子（泡利）
$N_{i}$	第 i 个能级的粒子数（人数）	同上	无量纲（个数）	N_i≤g_i
$W$	排列方式总数；约束下最大化 ln W 即得 f_F	—	无量纲（种数）	费米统计的组合根源

注释公式 · 逐量认读 ANNOTATED

$$\overset{\text{排列总数}}{W}=\prod_{i}\frac{\overset{\text{量子态数(座位)}}{g_{i}}\,!}{\overset{\text{粒子数(人数)}}{N_{i}}\,!\,\left(g_{i}-N_{i}\right)!}$$

$$W=\prod_{i}\frac{g_{i}!}{N_{i}!\,(g_{i}-N_{i})!}$$

诵读句「W 等于对每个能级连乘 C g i 取 N i——一态最多一电子，给人挑座位。」

概念对比与易混速查

Contrast & Disambiguation

量	含义	单位 / 典型值	区分一句
$g(E)$	状态密度：随 E 变化的「座位」函数，带边起零按 √ 增长	cm⁻³·eV⁻¹	「g 数座位、$N_c$ 折总座、n 数坐到人。」
$N_{c},N_{v}$	有效状态密度：把整条带折算到带边的「等效总座位数」，温度常数	cm⁻³；Si：2.8×10¹⁹ / 1.0×10¹⁹
$n(E)=g\cdot f$	被占电子分布：单位能量内实际坐人的态，挂边偏峰	cm⁻³·eV⁻¹
$E_{F}$	费米能级：f=1/2 之能量，化学势	eV	「带边是座位边界，$E_i$ 是本征中线，$E_F$ 是实际水位——水位越高电子越多。」
$E_{i},\,E_{c}/E_{v}$	本征费米能级（约中线）；导带底 / 价带顶（边界）	eV	「带边是座位边界，$E_i$ 是本征中线，$E_F$ 是实际水位——水位越高电子越多。」
$f_{F}$ 精确	恒居 0–1，简并、非简并皆适用	无量纲	「远能级用指数、近能级用精确；3kT 为界，误差百分之五。」
$e^{-(E-E_F)/kT}$	玻尔兹曼近似，仅 $E-E_F\geq3kT$（非简并）可用	无量纲	「远能级用指数、近能级用精确；3kT 为界，误差百分之五。」

物理图像三问与推导链

Origin · Shape · Exit

ORIGIN从哪来 · 物理起源

g(E) 出于自由粒子模型：k 空间每 $(2\pi/L)^3$ 体积一个态、自旋 ×2，球壳 $4\pi k^2 dk$ 借 $E=\hbar^2k^2/2m^*$ 换元即得 √ 律；f_F 出于泡利原理（一态最多一电子）下对 $W=\prod_i \binom{g_i}{N_i}$ 在粒子数、能量守恒约束内取最大。

SHAPE长什么样 · 图形形态

g_c 自 $E_c$ 向右起的侧抛物线，g_v 自 $E_v$ 向左对称而沉；f 为以 $E_F$ 为中心的台阶坡，过渡宽约 4kT；$n(E)=g_c f$ 自带边起零、指数拖尾的「挂边偏峰」。

EXIT去哪用 · 考点出口

积分 n(E) 得 $n_0=N_c\exp\!\big(-(E_c-E_F)/kT\big)$，同理 $p_0$；由此 $n_0p_0=n_i^2$ 与质量作用定律；判简并、算载流子浓度、定费米能级位置，皆本讲之出口。

k 空间态密度 $2\left(\frac{L}{2\pi}\right)^{3}$（含自旋 ×2）自由电子气 + 自旋二度
抛物线色散 $E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}}$ 换元 → $g_{c}(E)\propto\sqrt{E-E_{c}}$有效质量近似
$W=\prod_i \frac{g_i!}{N_i!(g_i-N_i)!}$，约束下最大化 $\ln W$ → $f_F$费米–狄拉克统计（泡利）
$N(E)=g(E)\,f_{F}(E)$，即讲义 $\frac{N(E)}{g(E)}=f_F$分布函数定义
玻尔兹曼近似后积分 → $n_{0}=N_{c}\exp\!\big(-(E_{c}-E_{F})/kT\big)$，$N_{c}=2\left(\frac{2\pi m_{n}^{*}kT}{h^{2}}\right)^{3/2}$非简并条件 ≥3kT

泡利不相容：一个量子态最多容纳一个电子 → 组合数为 $\binom{g_i}{N_i}$，而非玻色形式。
有效质量近似：带边附近 E(k) 抛物 → g(E) 之 √ 形态仅带边附近成立。
热平衡：全系统统一一个费米能级 $E_F$（讲义「定量推导不用掌握，定性理解趋势即可」）。
非简并条件：$E-E_F\geq3kT$，误差≈5%；否则简并，须用精确 f。

数值锚点卡

Numeric Anchors · Mono

kT · 300 K

meV（≈0.0259 eV）

$f_F(E_F)$

无量纲 · 恒成立

$f_F(E_F+3kT)$

≈5% · 电子尾

$f_F(E_F-3kT)$

≈95% · 空穴尾

3kT 处玻尔兹曼误差

% ≈5%（(e⁻³−f)/f）

f 过渡宽度

≈4kT

300K ≈ 0.1 eV

Si · $N_c$ / $N_v$

2.8 / 1.0

×10¹⁹ cm⁻³

Si · $n_i$ · 300 K

1×10¹⁰

cm⁻³

交互主图自测与翻转卡

Active Recall · Flip & Fill

观察要点（回顶部操纵主图，参数由小到大扫描）

T 由 100 K 扫至 600 K：f 之台阶坡由陡变缓，过渡宽恒约 4kT；惟 $f(E_F)=0.5$ 钉死不动，n(E) 峰随之展平。
$E_F$ 由价带侧扫至导带侧：f 曲线整体上移，同一 E 处占据概率增大；n(E) 峰增高、p(E) 峰压低——印证「$E_F$ 越大，电子能量越大」。
$m_n^*,m_p^*$ 调大：对应侧抛物线 g 横向展宽（态愈多），n(E)、p(E) 峰随之增高；质量之比决定两峰之相对强弱。
开启玻尔兹曼叠加：$E-E_F\geq3kT$ 区虚线与 f 几乎重合；越近 $E_F$ 分歧越剧，3kT 为界误差约 5%。

自测填空（默认隐藏，点击揭示）

翻转卡（点击翻面）

Q · 问

状态密度（量子态密度）的定义？

A · 答

单位能量、单位体积能够容纳「电子」的位置个数的密度。

Q · 问

「一个量子态最多容纳一个电子」出自何原理？对 W 有何影响？

A · 答

泡利不相容；每能级组合数为 $\binom{g_i}{N_i}$，连乘得 W。

Q · 问

玻尔兹曼近似条件与误差？

A · 答

$E-E_F\geq3kT$（非简并）；3kT 处误差 ≈5%。

Q · 问

g(E) 抛物线「陡缓」由谁决定？

A · 答

有效质量 $m^*$：$m^*$ 愈大，前因子愈大，态愈多、抛物线愈「开」。

Q · 问

$E_F$ 处必有量子态吗？

A · 答

不必。$E_F$ 仅为 f=1/2 之能量参数，可落于禁带（无态之处）。

Q · 问

n(E) 形态三字诀？

A · 答

挂边偏峰：带边起零（g 所制），指数拖尾（f 所制）。

考法角度与答题模板

Exam Patterns · Templates

考法一 · 判玻尔兹曼适用 / 简并与否

算：$x=(E-E_F)/kT$，室温取 kT≈26 meV；
比：与 3 比较；
断：x≥3 → 非简并，可用 $f\approx e^{-(E-E_F)/kT}$，误差约 5% 量级；x<3 → 趋简并，须用精确费米函数。

考法二 · 求 / 估占据概率

写：$f=\frac{1}{1+\exp((E-E_F)/kT)}$；
代：锚点直取 $f(E_F)=0.5$、$f(E_F\pm3kT)\approx0.05/0.95$；
述：E 愈高 f 愈小；T 愈高坡愈缓；$E_F$ 愈高曲线整体上移。

考法三 · 写状态密度函数并述形态

定带：导带用 $\sqrt{E-E_c}$ 与 $m_n^*$，价带用 $\sqrt{E_v-E}$ 与 $m_p^*$；
写系数：$\frac{4\pi(2m^*)^{3/2}}{h^3}$；
述形态：带边起零、√ 增长之「侧抛物线」，有效质量大者态多。

考法四 · 述 $E_F$ 物理意义与比较浓度

定义：f=1/2 之能量，该处不必有态；
定性：材料固有参数，表征电子平均能量水平，$E_F$ 越大电子能量越大；
推论：$E_F$ 上移近导带 → n 增、p 减；$n_0=N_c e^{-(E_c-E_F)/kT}$ 秒答量级。

\(T\)	温度（热能量标尺 \(kT\)）
\(E_F-E_i\)	费米能级偏移（相对禁带中线 \(E_i\)）
\(E_g\)	禁带宽度（\(E_c=E_g\)，\(E_v=0\) 固定）
\(m_n^*\)	电子有效质量（以 \(m_0\) 计）
\(m_p^*\)	空穴有效质量（以 \(m_0\) 计）

滑块物理量	\(g_c\) 导带状态密度	\(g_v\) 价带状态密度	\(f_F\) 费米占据坡	\(e^{-(E-E_F)/kT}\) 玻尔兹曼近似	\(n(E)=g_c f\) 电子分布	\(p(E)=g_v(1-f)\) 空穴分布
温度 \(T\)	无影响：态密度只由带边与有效质量决定，与热无关。\(g_c=\frac{4\pi(2m_n^*)^{3/2}}{h^3}\sqrt{E-E_c}\) 不含 \(T\)，形状不变。	无影响：同理，价带态密度与热无关。\(g_v\) 公式不含 \(T\)。	热扰动加剧，占据坡展宽变缓（过渡宽≈4kT），惟 \(f(E_F)=0.5\) 钉死不动。\(kT\uparrow\Rightarrow\left\|\frac{E-E_F}{kT}\right\|\downarrow\Rightarrow f\) 趋近 1/2，坡变缓。坡变陡变窄，T→0 时趋于矩形台阶。\(kT\downarrow\Rightarrow\) 比值 \(\uparrow\Rightarrow f\) 更快趋于 0/1。	热尾抬高，指数衰减变慢，虚线展宽。\(kT\uparrow\Rightarrow\frac{E-E_F}{kT}\downarrow\Rightarrow e^{-(E-E_F)/kT}\) 衰减变慢、曲线抬高。衰减加快，虚线贴向 \(E_F\) 水平线。\(kT\downarrow\Rightarrow\) 指数绝对值 \(\uparrow\Rightarrow\) 衰减更快。	分布展宽变平，峰略离带边，总面积（电子数）因热激发而增。峰位 \(\approx E_c+\tfrac{kT}{2}\) 右移；\(f\) 展宽 \(\Rightarrow n=g_c f\) 展宽；\(N_c\propto T^{3/2}\uparrow\)。分布收窄、峰贴回 \(E_c\)，面积收缩。\(kT\downarrow\Rightarrow\) 峰位左移、乘积收窄。	与 n(E) 镜像：展宽变平，峰略离 \(E_v\)，空穴数增。峰位 \(\approx E_v-\tfrac{kT}{2}\) 左移；\(1-f\) 展宽 \(\Rightarrow p\) 展宽。收窄、峰贴回 \(E_v\)。\(kT\downarrow\Rightarrow p=g_v(1-f)\) 收窄。
费米能级 \(E_F\)	无影响：态密度只认带边与质量，不认「水位」。\(g_c\) 公式不含 \(E_F\)。	无影响：同上。\(g_v\) 公式不含 \(E_F\)。	水位升高，同能量处占据概率整体增大，台阶坡上移。\(E_F\uparrow\Rightarrow E-E_F\downarrow\Rightarrow f\uparrow\)（整坡平移）。水位降低，坡下移，同 E 处占据减小。\(E_F\downarrow\Rightarrow f\downarrow\)。	近似曲线随水位整体抬高，形状不变。\(e^{-(E-E_F)/kT}=e^{(E_F-E)/kT}\)，\(E_F\uparrow\Rightarrow\) 值 \(\uparrow\)。整体降低。\(E_F\downarrow\Rightarrow\) 值 \(\downarrow\)。	水位趋近导带，更多电子入座，峰增高、面积指数增大。\(f\uparrow\Rightarrow n=g_c f\uparrow\)；\(n_0=N_c e^{-(E_c-E_F)/kT}\uparrow\)。峰降低、面积收缩。\(f\downarrow\Rightarrow n\downarrow\)。	水位远离价带，空穴减少，峰压低、面积缩小。\(1-f\downarrow\Rightarrow p\downarrow\)；\(p_0=N_v e^{-(E_F-E_v)/kT}\downarrow\)。空穴增多，峰增高。\(1-f\uparrow\Rightarrow p\uparrow\)。
禁带宽度 \(E_g\)	导带底 \(E_c\) 随隙上移，g_c 起零点上移，平移不变形。\(\sqrt{E-E_c}\) 中 \(E_c\uparrow\Rightarrow\) 同形上移。 \(E_c\) 下移，g_c 整体下移。\(E_c\downarrow\Rightarrow\) 同形下移。	无影响：\(E_v=0\) 固定、\(m_p^*\) 不变。\(\sqrt{E_v-E}\) 不变。	本标本 \(E_F\) 锚于中线，隙变宽则 \(E_F\) 随之升高，坡上移。\(E_F=\tfrac{E_g}{2}+\Delta\uparrow\Rightarrow f\) 上移。坡下移。\(E_g\downarrow\Rightarrow E_F\downarrow\Rightarrow f\) 下移。	随 \(E_F\) 升高而整体抬高。\(e^{(E_F-E)/kT}\)，\(E_F\uparrow\Rightarrow\) 值 \(\uparrow\)。整体降低。\(E_F\downarrow\Rightarrow\) 值 \(\downarrow\)。	隙宽则 \(E_F\) 离导带愈远，愈难激发，峰显著压低并上移。\((E_c-E_F)=\tfrac{E_g}{2}-\Delta\uparrow\Rightarrow f(E_c)\approx e^{-(E_c-E_F)/kT}\downarrow\Rightarrow n_0\downarrow\)。峰增高、下移，电子增多。\(E_g\downarrow\Rightarrow(E_c-E_F)\downarrow\Rightarrow\) 指数项 \(\uparrow\)。	水位亦远离价带，空穴减少，峰压低（位置不变，因 \(E_v\) 固定）。\((E_F-E_v)=\tfrac{E_g}{2}+\Delta\uparrow\Rightarrow p_0=N_v e^{-(E_F-E_v)/kT}\downarrow\)。空穴增多，峰增高。指数减小 \(\Rightarrow p_0\uparrow\)。
电子有效质量 \(m_n^*\)	质量愈大，E(k) 愈缓，单位能量内堆积的态愈多，抛物线愈「开」。前因子 \(\propto(m_n^*)^{3/2}\uparrow\Rightarrow g_c\) 同 E 处增大。态变稀，抛物线收拢。前因子 \(\downarrow\Rightarrow g_c\downarrow\)。	无影响：价带态密度只取决于 \(m_p^\)。\(g_v\) 不含 \(m_n^\)。	无影响：占据概率只认 \((E-E_F)/kT\)，与质量无关。\(f\) 不含 \(m^*\)。	无影响：指数近似与质量无关。\(e^{-(E-E_F)/kT}\) 不含 \(m^*\)。	座位愈多则入座愈多，曲线整体放大，面积 \(n_0\) 增。\(n=g_c f\) 随 \(g_c\uparrow\)；\(N_c=2\left(\frac{2\pi m_n^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\uparrow\)。整体缩小。\(g_c\downarrow\Rightarrow n\downarrow\)。	无影响：价带空穴与电子质量无涉。\(p=g_v(1-f)\) 不含 \(m_n^*\)。
空穴有效质量 \(m_p^*\)	无影响：导带态密度只取决于 \(m_n^\)。\(g_c\) 不含 \(m_p^\)。	空穴质量愈大，价带态愈多，抛物线愈「开」。前因子 \(\propto(m_p^*)^{3/2}\uparrow\Rightarrow g_v\uparrow\)。收拢、态变稀。前因子 \(\downarrow\Rightarrow g_v\downarrow\)。	无影响：f 与质量无关。\(f\) 不含 \(m^*\)。	无影响。\(e^{-(E-E_F)/kT}\) 不含 \(m^*\)。	无影响：导带电子分布与空穴质量无涉。\(n=g_c f\) 不含 \(m_p^*\)。	座位愈多，空穴分布整体放大，面积 \(p_0\) 增。\(p=g_v(1-f)\uparrow\)；\(N_v\propto(m_p^*)^{3/2}\uparrow\)。整体缩小。\(g_v\downarrow\Rightarrow p\downarrow\)。

符号	含义（可背诵表述）	角标 / 上标全称与意义	单位	考点备注
\(g,\,g_{c},\,g_{v}\)	状态密度：单位体积、单位能量的量子态数，即能容纳电子的「座位」密度	合并行：\(g\) 为自由粒子有效态密度（自 \(E=0\) 起）；\(c\to\) conduction 导带，自 \(E_c\) 起、变量 \(\sqrt{E-E_c}\)；\(v\to\) valence 价带，自 \(E_v\) 起、变量 \(\sqrt{E_v-E}\)	cm⁻³·eV⁻¹（SI：m⁻³·J⁻¹）	侧抛物线、带边起零；仅带边附近成立
\(m_{n}^{},\,m_{p}^{}\)	状态密度有效质量，决定抛物线「陡缓」：质量愈大，态愈多	合并行：\(n\to\) negative 电子；\(p\to\) positive 空穴；\(*\to\) effective 有效	kg，常以 m₀ 计	Si：m_n≈1.08m₀，m_p≈0.56m₀
\(E_{c},\,E_{v}\)	带边能量：导带底 / 价带顶，状态密度的「零点」与起画点	合并行：\(c\to\) conduction bottom；\(v\to\) valence top	eV	E_g=E_c−E_v：Si 1.12 / Ge 0.66 / GaAs 1.42
\(E\)	所论量子态之能量	—	eV	自变量；根号内为「到带边距离」
\(h\)	普朗克常量	—	4.136×10⁻¹⁵ eV·s ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s	分母 h³，双单位必背
\(\tfrac{4\pi(2m^{*})^{3/2}}{h^{3}}\)	公共前因子，决定抛物线开口；推导含自旋 ×2	—	cm⁻³·eV⁻³ᐟ²	k 空间每 (2π/L)³ 一体积一个态 ×2（自旋）

符号	含义（可背诵表述）	角标 / 上标全称与意义	单位	考点备注
\(f_{F}(E)\)	费米占据概率：能量 E 的量子态被电子占据的可能性	\(F\to\) Fermi 费米	无量纲（0–1）	台阶坡，宽约 4kT；f(E_F)=0.5
\(N(E)\)	单位体积、单位能量的粒子数（被占态密度）	—	cm⁻³·eV⁻¹	N(E)=g(E)·f(E)
\(g(E)\)	单位体积、单位能量的量子状态数（状态密度）	—	cm⁻³·eV⁻¹	「座位」密度
\(E_{F}\)	费米能级：f=1/2 之能量；材料固有参数，表征系统电子能量大小	\(F\to\) Fermi	eV	E_F 越大，电子能量越大、占据愈高
\(E_{i}\)	本征费米能级：本征半导体之 E_F，约居禁带中线	\(i\to\) intrinsic 本征	eV	特殊值，不与 E_F 合并
\(k\)	玻尔兹曼常量	—	8.62×10⁻⁵ eV/K ≈ 1.38×10⁻²³ J/K	双单位必背
\(T\)	热力学温度（绝对温标）	—	K	室温 300 K
\(kT\)	热能量，分布的唯一「宽度」标尺	—	eV（300K≈0.026）	26 meV 锚点

符号	含义	角标全称	单位	考点备注
\(E-E_{F}\)	所论态高出费米能级之能量差	\(F\to\) Fermi	eV	≥3kT 判据，误差≈5%
\(\exp[-(E-E_{F})/kT]\)	近似式：分母中 1 可略	—	无量纲	e⁻³≈0.0498，精确 1/(1+e³)≈0.0474

符号	含义	角标全称	单位	考点备注
\(g_{i}\)	第 i 个能级的量子态数（座位数）	\(i\to\) 第 i 能级序号	无量纲（个数）	一个量子态最多容纳一个电子（泡利）
\(N_{i}\)	第 i 个能级的粒子数（人数）	同上	无量纲（个数）	N_i≤g_i
\(W\)	排列方式总数；约束下最大化 ln W 即得 f_F	—	无量纲（种数）	费米统计的组合根源

公式拆解表

① 状态密度三式（有效量子态 · 导带 · 价带）

② 费米–狄拉克分布函数（能量为 E 的量子态被电子占据的可能性）

③ 玻尔兹曼近似（f 不好积，E−EF 较大时化指数）

④ 讲义提问：n 个能级、gi 个量子态、Ni 个粒子的排列总数

概念对比与易混速查

物理图像三问与推导链

ORIGIN从哪来 · 物理起源

SHAPE长什么样 · 图形形态

EXIT去哪用 · 考点出口

数值锚点卡

交互主图自测与翻转卡

观察要点（回顶部操纵主图，参数由小到大扫描）

自测填空（默认隐藏，点击揭示）

翻转卡（点击翻面）

考法角度与答题模板

考法一 · 判玻尔兹曼适用 / 简并与否

考法二 · 求 / 估占据概率

考法三 · 写状态密度函数并述形态

考法四 · 述 \(E_F\) 物理意义与比较浓度

③ 玻尔兹曼近似（f 不好积，E−E_F 较大时化指数）

④ 讲义提问：n 个能级、g_i 个量子态、N_i 个粒子的排列总数